\input{../preambules/preDM.tex}
\usepackage{cancel}
\renewcommand{\P}{\mathscr{P}}
\begin{document}
\chead{SIGMA n°2C}
\lfoot{}
\cfoot{Bilan semestre 1}

\begin{center}
\fbox{ \Large Correction SIGMA n°2C}
\end{center}
\vspace{30pt}


\section*{Exercice 1 - Manipuler les racines carrées}

{\bf Exercice 1A (cours)} \\
Résoudre l'équation et l'inéquation suivante : 
\begin{enumerate}
\item Tout d'abord, on résout $x - 4 \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq 4$. On résout alors la première équation pour $x \in [4;+\infty[$ 
 	\begin{align*}
&  &\sqrt{x-4 } & = 2 \\
& \Longleftrightarrow & (\sqrt{x - 4})^2 & =  2^2 \\
& \Longleftrightarrow & x - 4 & =  4 \\
& \Longleftrightarrow & x & =8   
\end{align*}
Or $8 \geq 4$ donc l'équation n'a qu'une unique solution
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S} = \{ 8 \}$.}
\end{center}
\item On résout tout d'abord, $x^2 + 1 \geq 0$. Or cette inéquation est vérifiée pour tout $x \in \R$. Ainsi, $\forall x \in \R$,
\begin{align*}
 \sqrt{x^2+1} \geq 1 & \Longleftrightarrow x^2 +1 \geq 1^2 \\
 & \Longleftrightarrow x^2 \geq 0
\end{align*}
Cette inégalité est ainsi toujours vérifiée. Donc
\begin{center}
\fbox{$\mathscr{S} = \mathbb{R}$.}
\end{center} 

\end{enumerate}

{\bf Exercice 1B (Application)} \\
\begin{enumerate}
 \item On résout dans un premier temps l'inéquation $x^2 - 1 \geq 0 \Longleftrightarrow (x-1)(x+1) \geq 0$. On a donc pour tout $x \in ]-\infty ; -1] \cup [1; +\infty[$ 
 \begin{align*}
 \sqrt{x^2-1} \geq 3 & \Longleftrightarrow x^2 - 1 \geq 9  \\
 & \Longleftrightarrow x^2 \geq 10 \\
 & \Longleftrightarrow |x| \geq \sqrt{10} \\
 & \Longleftrightarrow x \leq - \sqrt{10} \; \text{ou} \; x \geq \sqrt{10} 
 \end{align*}
 \begin{center}
 \fbox{L'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = ]-\infty ; -\sqrt{10}] \cup [\sqrt{10}; +\infty[$}
 \end{center}
 \item On résout tout d'abord $x + 5 \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq -5$. Or comme une racine carrée est toujours positive, \begin{center}
 \fbox{l'ensemble des solutions est $\mathcal{S} = [-5 ; + \infty[$.}
 \end{center}
 \item Simplifiez l'expression suivante en utilisant la quantité conjuguée : 
 \begin{align*}
 A & = \dfrac{x^2}{x - \sqrt{x^2+2}} \\
   & = \dfrac{x^2 (x + \sqrt{x^2+2}}{(x- \sqrt{x^2+2})(x+\sqrt{x^2+2})} \\
   & = \dfrac{x^3 + x^2 \sqrt{x^2+2}}{x^2 - (x^2 +2)} \\
   &\boxed{ = - \dfrac{1}{2} (x^3 + x^2 \sqrt{x^2 +2}}
 \end{align*}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 - Résoudre une équation}

{\bf Exercice 2A (cours)} \\
\begin{enumerate}
 \item On résout l'équation  pour $x \neq \dfrac{4}{3}$:
 \begin{align*}
 \dfrac{x+3}{3x-4} = 1 & \Longleftrightarrow x+3 = 3x - 4 \\
 & \Longleftrightarrow 2x = 7 \\
 & \Longleftrightarrow x = \dfrac{7}{2}
 \end{align*}
 L'ensemble des solutions est 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \left\{ \dfrac{7}{2} \right\}$.}
\end{center}

\item On peut résoudre l'équation $4x^2 - 4x +1 = 0$ en utilisant le discriminant ou en reconnaissant une identité remarquable :
 \begin{align*}
4x^2 - 4x +1 = 0 & \Longleftrightarrow (2x - 1)^2 = 0 \\
 & \Longleftrightarrow 2x - 1 = 0 \\
 & \Longleftrightarrow x = \dfrac{1}{2} 
 \end{align*}
 L'ensemble des solutions est \fbox{$\mathscr{S}_2 = \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}$.}
 \end{enumerate}
 
{\bf Exercice 2B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation 
\begin{align*}
x^3 - 4x^2 + 4x = 0 & \Longleftrightarrow x (x^2 - 4x +4) = 0 \\
& \Longleftrightarrow x(x-2)^2 = 0
\end{align*}
L'ensemble des solutions est 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_1 = \{ 0 ; 2 \}$.}
\end{center}

\item On résout l'équation 
\begin{align*}
x \ln(x+3) = x & \Longleftrightarrow x \ln(x+3) - x = 0 \\
& \Longleftrightarrow x (\ln(x+3) - 1) = 0  \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad \ln(x+3) - 1 = 0 \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad \ln(x+3) = 1  \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x+3 = e \\
& \Longleftrightarrow x = 0 \quad \text{ou} \quad x = e -3
\end{align*}
L'ensemble des solutions est 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S}_3 = \left\{ 0 ; e-3 \right\}$.}
\end{center}
\end{enumerate}
  

\section*{Exercice 3 - Utiliser les formules de $\ln$ ou de $\exp$}

{\bf Exercice 3A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item On commence par résoudre les équations $x - 4 > 0 \Longleftrightarrow x > 4$ et $x+4 > 0 \Longleftrightarrow x > - 4$. Pour tout $x \in ]4 ; +\infty[$ on résout désormais
 \begin{align*}
\ln(x+4) + \ln(x-4) = 0 & \Longleftrightarrow \ln((x+4)(x-4)) = 0 \\
 & \Longleftrightarrow \ln(x^2 - 16) = 0 \\
 & \Longleftrightarrow x^2 - 16 = 1 \\
 & \Longleftrightarrow x^2 - 17 = 0 \\
 & \Longleftrightarrow x^2 = 17 \\
 & \Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{17}
 \end{align*}
 Cependant, le nombre $- \sqrt{17}$ n'appartient pas à l'ensemble $]4 ; + \infty[$.  L'ensemble des solutions est donc 
\begin{center} 
 \fbox{$\mathscr{S} = \{ \sqrt{17} \}$.}
\end{center} 
 
 \item Pour résoudre l'équation $e^{2x} +2e^x - 3 = 0$, on pose le changement de variable $X = e^x > 0$. On a donc
\begin{align*}
e^{2x} +2e^x - 3 = 0 & \Longleftrightarrow X^2 + 2X - 3 = 0 \quad \text{et} X > 0  
\end{align*} 
On résout l'équation $X^2 + 2X - 3 = 0$ en utilisant le discriminant $\Delta = 4 -4 \times (-3) = 16$. Les solutions de cette équation sont donc 
$$
X_1 = \dfrac{-2 -4}{2} = -3 \quad \text{ou} \quad X_2 = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1
$$
La solution $X_1$ est négative donc elle ne convient pas L'unique solution vérifie alors $e^x = 1 \Longleftrightarrow x = 0$.  L'ensemble des solutions est 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S} = \{ 0 \}$.}
\end{center}
 \end{enumerate}
  
{\bf Exercice 3B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item Simplifier les expressions suivantes: \\

\reponset{
 A & = e^{-3 \ln(4)} \\
  & = 4^{-3} \\
  & = \boxed{\dfrac{1}{64}}
}{
B & = \ln(\sqrt{e^4}) - \ln(\sqrt{e}) \\
  & = \ln(e^2) - \dfrac{1}{2}\ln(e) \\
  & = \boxed{2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}}
}{
C & = \ln(\sqrt{\exp(- \ln(e^2))}) \\
  & = \ln(\sqrt{\exp(- 2)}) \\
  & = \ln(e^{-1}) \\
  & =  \boxed{-1}
}

\item Pour résoudre l'équation $e^{2x} +2e^x - 3 = 0$, on pose le changement de variable $X = e^x > 0$. On a donc
\begin{align*}
e^{2x} +2e^x - 3 = 0 & \Longleftrightarrow X^2 + 2X - 3 = 0 \quad \text{et} X > 0  
\end{align*} 
On résout l'équation $X^2 + 2X - 3 = 0$ en utilisant le discriminant $\Delta = 4 -4 \times (-3) = 16$. Les solutions de cette équation sont donc 
$$
X_1 = \dfrac{-2 -4}{2} = -3 \quad \text{ou} \quad X_2 = \dfrac{-2 + 4}{2} = 1
$$
La solution $X_1$ est négative donc elle ne convient pas L'unique solution vérifie alors $e^x = 1 \Longleftrightarrow x = 0$.  L'ensemble des solutions est 
 \begin{center}
\fbox{$\mathscr{S} = \{ 0 \}$.}
\end{center}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 4 - Tracer des courbes}

{\bf Exercice 4A (cours)} \\
Tracer sur un même graphique les courbes d'équations
\begin{qmulti}{3}
\item $y = -2$
\item $y = -2x +3$
\item $y = e^x$
\end{qmulti}

{\bf Exercice 4B (Application)} \\
Tracer sur un même graphique les courbes d'équations
\begin{qmulti}{3}
\item $y = 3x +1$
\item $y = x^2 -4x +3$
\item $y = \dfrac{1}{x}$
\end{qmulti}

\section*{Exercice 5 - Manipuler des valeurs absolues}

{\bf Exercice 5A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item On résout l'équation 
$$
|x+1| = 1 \Longleftrightarrow x+1 = 1 \quad \text{ou} \quad x+1 = -1
$$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_1  = \{ -2 ; 0 \}$.}
\end{center}
\item On résout l'équation $x+4 \geq 0 \Longleftrightarrow x \geq -4$ et $1-2x \geq 0 \Longleftrightarrow x \leq \dfrac{1}{2}$. On a donc 3 cas: 
\begin{enumerate}
\item {\bf Cas où $x < -4$ :} L'équation s'écrit alors 
\begin{align*}
|x +4| - | 1 - 2x| =  2 & \Longleftrightarrow -(x+4) - (1-2x) = 2 \\
 & \Longleftrightarrow x - 5 = 2 \\
 & \Longleftrightarrow x = 7
\end{align*}
Cette équation n'a donc aucune solution sur cet intervalle. 

\item {\bf Cas où $-4 \leq x < \dfrac{1}{2}$ :} L'équation s'écrit alors 
\begin{align*}
|x +4| - | 1 - 2x| =  2 & \Longleftrightarrow (x+4) - (1-2x) = 2 \\
 & \Longleftrightarrow 3x +3 = 2 \\
 & \Longleftrightarrow 3x = -1 \\
 & \Longleftrightarrow x = - \dfrac{1}{3}
\end{align*}
Il y a alors une solution sur $[-4 ; 1/2[$ : $x = -1/3$.

\item {\bf Cas où $\dfrac{1}{2} \leq x $ :} L'équation s'écrit alors 
\begin{align*}
|x +4| - | 1 - 2x| =  2 & \Longleftrightarrow x+4 + (1-2x) = 2 \\
 & \Longleftrightarrow -x  +5 = 2 \\
 & \Longleftrightarrow x = 3
\end{align*}
Il y a alors une solution sur $[1/2 ; +\infty[$ : $x = 3$.
\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{Au final l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_2 = \left\{ - \dfrac{1}{3} , 3 \right\}$.}
\end{center}

\item D'après le cours, 
$$
|x| >3 \Longleftrightarrow x<-3 \; \text{ou} \; x > 3
$$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = ]-\infty ; -3[ \cup ]3 ; + \infty[$.}
\end{center}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 5B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item D'après le cours, 
$$
|x| >3 \Longleftrightarrow x<-3 \; \text{ou} \; x > 3
$$
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est $\mathscr{S}_3 = ]-\infty ; -3[ \cup ]3 ; + \infty[$.}
\end{center}


\item  Afin de voir quels sont les cas possibles, on utilise le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $4x-2$/1,Signe de $x+3$/1}{$-\infty$,$-3$,$\frac12$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,} 
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item {\bf 1er Cas:  $x \leq -3$.} Dans ce cas, les 2 quantités dans les valeurs absolues sont négatives. Donc 
\begin{eqnarray*}
|4x - 2| \leq |x+3| & \Leftrightarrow & -(4x - 2) \leq -(x+3) \\
& \Leftrightarrow & -4x + 2  \leq  -x - 3 \\
& \Leftrightarrow & 5 \leq 3x \\
& \Leftrightarrow & \dfrac{5}{3} \leq x
\end{eqnarray*}
On en déduit qu'il n'y a aucune solutions sur cet intervalle. 
\vspace{5pt}
\item {\bf 2nd Cas:  $-3\leq x \leq \dfrac{1}{2}$.} Dans ce cas,  
\begin{eqnarray*}
|4x - 2| \leq |x+3| & \Leftrightarrow & (4x - 2) \leq -(x+3) \\
& \Leftrightarrow &  4x -2  \leq -x -3 \\
& \Leftrightarrow & 5x \leq -1 \\
& \Leftrightarrow & x \leq -\frac{1}{5} \\
\end{eqnarray*}
On en déduit que l'intervalle, $\left[ -3 ; - \dfrac{1}{5} \right]$ est solution. 
\vspace{5pt}
\item {\bf 3ème Cas:  $x \geq 1$.} Dans ce cas, les 2 quantités dans les valeurs absolues sont positives. Donc 
\begin{eqnarray*}
|4x - 2| \leq |x+3|  & \Leftrightarrow & (4x - 2) \leq (x+3) \\
& \Leftrightarrow & 3x \leq 5 \\
& \Leftrightarrow & x \leq \dfrac{5}{3} 
\end{eqnarray*}
On en déduit que l'intervalle,  $\left[ \dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{3} \right]$ est solution. 
\end{enumerate}
\begin{center}
\fbox{En conclusion, l'ensemble des solutions est $\left[-3; -\dfrac{1}{5} \right] \bigcup \left[ \dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{3} \right]$ }
\end{center}

\item On résout l'équation $|x^2 - 4| - |2x-1| = 0$. 
Afin de voir quels sont les cas possibles, on utilise le tableau de signe suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit{$x$/1,Signe de $x^2-4$/1,Signe de $2x+1$/1}{$-\infty$,$-2$,$1/2$,$2$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,t,-,z,+,} 
\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,z,+,} 
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \uline{\bf 1er Cas:  $x \in ]-\infty ; -2]$.} On s'aperçoit que dans ces deux cas, $x^2 - 4$ est positif et $2x-1$ est négatif. Donc 
\begin{eqnarray*}
|x^2 - 4| - |2x-1| = 4 & \Leftrightarrow & (x^2 - 4) + (2x-1) = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 - 4 + 2x -1 = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 + 2x -5 = 0 
\end{eqnarray*}
Le discriminant lié à cette équation du second degré est $ \Delta = 4 -4 \times 5 \times (-1) = 24$. Les deux solutions sont alors $x_1 = \dfrac{- 2 - 2\sqrt{6} }{2}= -1 - \sqrt{6} $ et $x_2 = \dfrac{- 2+ 2\sqrt{6}}{2} = -1 + \sqrt{6}$. La solution $x_2$ n'est pas dans l'intervalle regardé. En revanche, $-1 - \sqrt{6} \leq -2$
\\
On en déduit que sur cet intervalle, \fbox{l'équation a une solution $- 1 - \sqrt{6}$. }
\vspace{5pt}
\item \uline{\bf 2nd Cas:  $-2 \leq x \leq 1/2$.} Dans ce cas, les deux quantités sont négatives. 
\begin{eqnarray*}
|x^2 - 4| - |2x-1| = 0 & \Leftrightarrow & -(x^2 - 4) + (2x-1) = 0 \\
& \Leftrightarrow & - x^2 + 4 + 2x - 1 = 0 \\
& \Leftrightarrow & - x^2 + 2x +3 = 0
\end{eqnarray*}
Le discriminant de cette équation est $\Delta = 4 - 4 \times (-1) \times 3 = 16$. Cette équation a donc deux solutions 
$x_3 = \dfrac{-2 - 4}{-2} = 3$ et $x_4 = \dfrac{-2+4}{-2} = -1$  
\\
On en déduit que sur cet intervalle, \fbox{l'équation a une solution : $- 1$. }
\item \uline{\bf 3ème Cas:  $1/2 \leq x \leq 2$.} Dans ce cas,
\begin{eqnarray*}
|x^2 - 4| - |2x-1| = 0 & \Leftrightarrow & -(x^2 - 4) - (2x-1) = 0 \\
& \Leftrightarrow & -x^2 -2x +5 = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 + 2x - 5 =0 
\end{eqnarray*}
Les solutions de cette équation ont déjà été calculées.
$$ x_1 = - 1 - \sqrt{6} \quad \text{et} \quad x_2 = -1+\sqrt{6} 
$$
Or $-1 - \sqrt{6} < 0$ donc cette solution n'est pas dans le domaine étudié. D'un autre côté, 
\begin{eqnarray*}
 2 < \sqrt{6} < 3  & \Longleftrightarrow & 1 < -1 + \sqrt{6} < 2  \\
\\
& \Longrightarrow & \dfrac{1}{2} < x_2 < 2
\end{eqnarray*}
donc cette solution est dans l'intervalle étudié. On en déduit que sur cet intervalle, \\
\fbox{l'équation a une solution : $-1 + \sqrt{6}$. }
\end{enumerate}

\item \uline{\bf 4ème Cas:  $2 < x $.} Dans ce cas, les deux quantités sont positives. 
\begin{eqnarray*}
|x^2 - 4| - |2x-1| = 0 & \Leftrightarrow & (x^2 - 4) - (2x-1) = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 - 4 - 2x + 1 = 0 \\
& \Leftrightarrow & x^2 - 2x - 3 = 0 \\
& \Leftrightarrow & -x^2 + 2x + 3 = 0 
\end{eqnarray*}
On a déjà déterminé les solutions de cette équation et donc 
$x_3 =  3$ et $x_4 = -1$  
\\
On en déduit que sur cet intervalle, \fbox{l'équation a une solution : $3$. }

\begin{center}
\fbox{En conclusion, l'ensemble des solutions de l'équation est $ \mathcal{S} = \{ -1 - \sqrt{6} ; -1; -1 + \sqrt{6} ; 3 \}$.}
\end{center}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 6 - Montrer qu'une suite est minorée ou majorée}

{\bf Exercice 6A (cours)} \\
On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{ u_n \geq 2 \times 3^n \}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 = 2 \times 3^0 = 2$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a donc $u_n \geq 2 \times 3^n$. Comme $u_{n+1} \geq 3 u_n$, on a alors
\begin{align*}
u_{n+1} \geq 3 u_n & \Longrightarrow u_{n+1} \geq 3 \times 2 \times 3^n \\
& \Longrightarrow  u_{n+1} \geq 2 \times 3^{n+1}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \geq 2 \times 3^n$}.
\end{itemize} 

\vspace{10pt}
{\bf Exercice 6B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \{ u_n \geq 1 \text{ et $u_n$ existe}\}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $u_0 = 1 \geq 1$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n > 0$.$u_n$ existe et $u_n + 4 >0$ donc on peut prendre le logarithme et $u_{n+1}$ existe. De plus,
\begin{align*}
u_n > 1 & \Longrightarrow 4 + u_n > 5 \\
& \Longrightarrow \ln(4 + u_n) > \ln(5) \\
& \Longrightarrow u_{n+1} > 1
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $u_n \leq 1$}.
\end{itemize}

\item On va montrer par récurrence les propositions $\P_n : \left\{ |u_n -2| \geq \left( \dfrac{1}{4} \right)^n \right\}$. 
\renewcommand\labelitemi{\textbullet}
\begin{itemize}
\item {\bf Initialisation :} On a bien $|u_0 - 2| = |1 - 2| =1 \leq 1$ donc $\P_0$ est vraie. 
\item {\bf Hérédité :} On suppose que la proposition $\P_n$ est vraie pour un certain rang $n \geq 0$. On a donc $| u_n - 2| \leq \left( \dfrac{1}{4} \right)^n$. Comme $|u_{n+1} -2| \leq \dfrac{1}{4} |u_n - 2|$, on a alors
\begin{align*}
|u_{n+1} -2| \leq \dfrac{1}{4} |u_n - 2|& \Longrightarrow |u_{n+1}  - 2| \leq  \dfrac{1}{4} \times \left( \dfrac{1}{4} \right)^n \\
& \Longrightarrow  | u_{n+1} - 2| \leq \left( \dfrac{1}{4} \right)^{n+1}
\end{align*}
Donc la proposition $\P_{n+1}$ est vraie. La suite de proposition $(\P_n)$ est héréditaire.
\item {\bf Conclusion :} \fbox{Pour tout $n \in \N$, $| u_n - 2 | \leq \left( \dfrac{1}{4} \right)^n$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 7 - Déterminer la probabilité d'une union finie.}

Dans une urne, il y a 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire successivement 3 boules avec remise dans cette urne on note les évènements $A_i$ : " Tirer la boule \no 5 au $i^{\`eme}$ lancer". On définit enfin les évènements $B_i$ : "On obtient au moins une boule \no 5 lors des $i$ premiers lancers".  On a $B_1 = A_1$ donc 
\begin{center}
\fbox{$P(B_1) = P(A_1) = \dfrac{1}{5}$. }
\end{center}
On a $B_2 = A_1 \cup A_2$. Les évènements $A_1$ et $A_2$ ne sont pas disjoints (mais ils sont indépendants) donc on utilise le crible de Poincaré :
\begin{align*}
P(B_2) & = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2) \\
 	   & = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} \\
 	   & \boxed{= \dfrac{9}{25}}
\end{align*}

Enfin, $B_3 = A_1 \cup A_2 \cup A_3$. Les évènements $A_1$, $A_2$ et $A_3$ ne sont pas disjoints (mais ils sont indépendants) donc on utilise le crible de Poincaré :
\begin{align*}
P(B_3) & = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_2 \cap A_3) - P(A_1 \cap A_3) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \\
 	   & = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{5} \\
 	   & = \dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{25} + \dfrac{1}{125} \\
 	   & \boxed{= \dfrac{61}{125}}
\end{align*}

{\bf Exercice 7B (Application)} \\
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $n$ lancers d'un dé à 4 faces. 
\begin{enumerate}
\item Afin de calculer la probabilité de l'évènement $C$, on introduit les évènements $A_k$ : "On obtient le nombre 4 au $k^{\`eme}$ tirage". Alors on a $C = (A_1 \cap A_n)$. En appliquant les formules du cours (on rappelle que les évènements $A_1$ et $A_n$ sont indépendants, 
\begin{align*}
P(C) & = P (A_1 \cap A_n)  \\
	 & = P(A_1) \times P(A_n) \\
	 & = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \\
	 & \boxed{= \dfrac{1}{16}}
\end{align*}

\item On considère les évènements $D$: "Les tirages $1$ et $2$ amènent chacun un 4", c'est à dire $D = A_1 \cap A_2$, $E$: "Les tirages $2$ et $3$ amènent chacun un 4", i.e. $E = A_2 \cap A_3$ et $F$: "Les tirages $3$ et $4$ amènent chacun un nombre inférieur ou égal à 4", i.e. $F$ est un évènement certain. On utilise alors le crible de Poincaré sachant que 
\begin{align*}
P(D) & = P(A_1 \cap A_2) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \\
P(E) & = P(A_2 \cap A_3) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{16} \\
P(F) & = 1 \\
P(D \cap E) & = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{64} \\
P(D \cap F) & = P(A_1 \cap A_2) = \dfrac{1}{16}
\end{align*}
Enfin $P(E \cap F)  = P(A_2 \cap A_3) = \dfrac{1}{16}$ et de même $P(D \cap E \cap F) = P(D\cap E) = \dfrac{1}{64}$.
On a alors 
\begin{align*}
P(D \cup E \cup F) & = P(D) + P(E) + P(F) - P(D \cap E) - P(D\cap F) - P(E \cap F) + P(D \cap E \cap F) \\
				   & = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{16} + 1 - \dfrac{1}{64} - \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{64} \\
				   & \boxed{= 1 }
\end{align*}
On peut aussi utiliser le fait que $D \cup E \cup F = F$ et donc $P(D \cup E \cup F) = 1$. 
\end{enumerate}

\section*{Exercice 8 - Déterminer la probabilité d'une intersection finie. }

{\bf Exercice 8A (cours)} \\
Dans une urne, il y a 3 boules vertes et 7 boules rouge. On tire 2 boules l'une après l'autre. On considère l'évènement $V_k$: "On tire la boule verte au $k^{\`eme}$ tirage" 
\begin{enumerate}
\item On remet la boule tirée dans l'urne. Les évènements $V_1$ et $V_2$ sont donc indépendants et 
\begin{center}
\fbox{$P(V_1 \cap V_2) = P(V_1) \times P(V_2) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{100}$.}
\end{center}
\item On ne remet pas la boule tirée dans l'urne. Cette fois ci les deux évènements ne sont pas indépendants donc on utilise la formule des probabilités composées,
\begin{center}
\fbox{$P(V_1 \cap V_2) = P(V_1) \times P_{V_1}(V_2) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}$.}
\end{center}


\end{enumerate}

{\bf Exercice 8B (Application)} \\
On considère l'expérience aléatoire consistant à effectuer $3$ tirages dans une urne contenant 2 boules noires et 3 boules rouges. On suppose que les tirages se font sans remise. On introduit alors les évènements $N_k$ : "On a pioché une boule noire au $k^{\`eme}$ tirage" et $R_k$ : "On a pioché une boule rouge au $k^{\`eme}$. On compare alors $P(R_1 \cap N_2 \cap R_3)$ et $P(N_1 \cap R_2 \cap N_3)$. On a d'après la formule des probabilités composées :
\begin{align*}
P(R_1 \cap N_2 \cap R_3) & = P(R_1) \times P_{R_1} (N_2) \times P_{R_1 \cap N_2} (R_3) \\
& = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} \times \dfrac{2}{3} \\
& = \dfrac{1}{5}
\end{align*}
D'un autre côté,
\begin{align*}
P(N_1 \cap R_2 \cap N_3) & = P(N_1) \times P_{N_1} (R_2) \times P_{N_1 \cap R_2} (N_3) \\
& = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{3} \\
& = \dfrac{1}{10}
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{On a donc deux fois plus de chances d'obtenir R-N-R que N-R-N}
\end{center}

\section*{Exercice 9 - Inverser une matrice en utilisant une formule.}

{\bf Exercice 9A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item On calcule le déterminant de $A = \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & -2 
\end{pmatrix} $ qui est $ 1 \times (-2) - 1 \times 3 = -5 \neq 0$. Donc la matrice $A$ est inversible et 
\begin{center}
\fbox{$A^{-1} = - \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}
-2 & -3 \\
-1 & 1 
\end{pmatrix} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & -1 
\end{pmatrix}$.}
\end{center}
\item On calcule le déterminant de la matrice $B = \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
-2 & -6 
\end{pmatrix} $ qui est $1 \times (-6) - (-2) \times 3 = -6 + 6 = 0$. \begin{center}
\fbox{La matrice $B$ n'est pas inversible.}
\end{center}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 9B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix}$. On calcule alors 
$$A^2 = \begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{pmatrix} .$$
Donc $A^2 - A = \begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 \\
-1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{pmatrix}  - \begin{pmatrix}0 & -1 & 1\\
-1 & 0 & -1\\
1 & -1 & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix} $. Ainsi on a bien
\begin{center}
\fbox{ $A^{2}-A-2I=0$.}
\end{center} 
On a
\begin{align*}
A^2 - A - 2I = 0 & \Longleftrightarrow A^2 - A = 2 I \\
& \Longleftrightarrow A^2 - A = 2 I \\
& \Longleftrightarrow A(A-I) = 2 I \\
& \Longleftrightarrow A\times \dfrac{1}{2}(A-I) =  I
\end{align*}
Donc d'après la définition, \begin{center}
\fbox{la matrice $A$ est inversible et $A^{-1} = \dfrac{1}{2}(A-I) = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
-1 & -1 & 1 \\
-1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & -1 
\end{pmatrix}$}
\end{center}
\item On considère la matrice $B=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}$. On calcule
$$
B^2 = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3 & 3 & 3\\
3 & 3 & 3\\
3 & 3 & 3
\end{pmatrix}
$$ 
On a donc \begin{align*}
B^2 - 3B & = \begin{pmatrix}
3 & 3 & 3\\
3 & 3 & 3\\
3 & 3 & 3
\end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}  \\
& \boxed{= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}.}
\end{align*}
On va montrer que la matrice $B$ n'est pas inversible à l'aide d'un raisonnement par l'absurde. Supposons que la matrice $B$ soit inversible, il existe alors une matrice $B^{-1}$ et donc 
\begin{align*}
B^{-1} (B^2 - 3B) = B^{-1} \times 0_3 & \Longleftrightarrow B - 3I_3 = 0_3
\end{align*}
Or 
\begin{align*}
B - 3I_3 & = \begin{pmatrix}
-2 & 1 & 1\\
1 & -2 & 1\\
1 & 1 & -2
\end{pmatrix} 
\end{align*}
ce qui n'est pas la matrice nulle. Il est donc absurde de supposer que $B$ est inversible. \begin{center}
\fbox{La matrice $B$ n'est pas inversible. }
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 10 - Manipuler une inégalité mettant en jeu une somme.}

{\bf Exercice 10A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item Soit $x \geq 0$. On a l'équivalence $e^x \geq 1+x \Longleftrightarrow e^x - 1 -x \geq 0$. On pose alors la fonction 
$$
f : x \to e^x - 1 - x
$$
définie sur $[0;+\infty[$. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et 
$$
\forall x \in [0; +\infty[, \quad f'(x) = e^x - 1
$$
On résout alors 
\begin{align*}
f'(x) > 0 & \Longleftrightarrow e^x - 1 > 0 \\
		  & \Longleftrightarrow e^x > 1 \\
		  & \Longleftrightarrow x > 0
\end{align*}
La fonction $f$ est donc croissante sur $[0 ; + \infty[$. Or $f(0)= e^0 -1- 0 = 0$. Donc pour tout $x \geq 0$, $f(x) \geq 0$ donc $f(x) \geq 0$. 
\begin{center}
\fbox{En conclusion, $\forall x \geq 0, \; e^x \geq 1+x$.  }
\end{center}
\item On a alors 
\begin{align*}
\forall k \in \N, \quad & e^k \geq 1+k \\
\Longrightarrow \; & \sum_{k=0}^n e^k \geq \sum_{k=0}^n 1 + k \\
\Longrightarrow \; & \sum_{k=0}^n e^k \geq \sum_{k=0}^n 1 + \sum_{k=0}^n k \\
\Longrightarrow \; & \sum_{k=0}^n e^k \geq n+1 + \dfrac{n(n+1)}{2} \\
\Longrightarrow \; & \boxed{\sum_{k=0}^n e^k \geq \dfrac{(n+2)(n+1)}{2}}
\end{align*}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 10B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item On a 
$$
\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x(x-1)} - \dfrac{x-1}{x(x-1)} = \dfrac{1}{x^2 - x}
$$
Or pour tout $x \geq 2$, on a $x^2  \geq x^2 - x$ et donc $\dfrac{1}{x^2 } \leq \dfrac{1}{x^2 - x}$. On conclut
\begin{center}
 \fbox{$ \dfrac{1}{x^2} \leq \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x}$}
 \end{center} 
\item On en déduit 
\begin{align*}
 \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2} & = 1 + \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k^2} \\
 & \leq 1 + \sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k} 
\end{align*}
On reconnait une somme télescopique donc 
$$
\sum_{k=2}^n \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}  = \dfrac{1}{2-1} - \dfrac{1}{n} = 1 - \dfrac{1}{n}
$$
Finalement,
\begin{center}
\fbox{$ \ds \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k^2}  \leq 2 - \dfrac{1}{n}$.}
\end{center}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 11 - Calculer des probabilités à l'aide du dénombrement.}

{\bf Exercice 11A (cours)} \\

On lance deux fois de suite un dé équilibré.
\begin{enumerate}
\item L'univers est $\Omega = \entier{1,6}^2$ et $card(\Omega) = 36$. On compte alors le nombre de possibilités pour obtenir un double avec deux dés :
$$
(1,1) \; , \; (2,2)  \; , \; (3,3)  \; , \; (4,4)  \; , \; (5,5) \; , \; (6,6)
$$
Il y a 6 possibilités. La probabilité d'obtenir $8$ est donc \begin{center}
\fbox{$p = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} $. }
\end{center}
\item De même, on compte le nombre de possibilités pour obtenir $6$ avec deux dés :
$$
(1,5) \; , \; (2,4)  \; , \; (3,3)  \; , \; (4,2)  \; , \; (5,1)
$$
Il y a 5 possibilités. La probabilité d'obtenir $6$ est donc \begin{center}
\fbox{$p = \dfrac{5}{36} $. }
\end{center}
\item On cherche à compter le nombre de possibilités pour obtenir 24 en faisant le produit de 2 dés :
$$
(2,6)  \; , \; (3,4)  \; , \; (4,3)  \; , \; (6,2)
$$
Il y a 4 possibilités. La probabilité d'obtenir $24$ en faisant le produit est donc \begin{center}
\fbox{$p = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} $. }
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{10pt}
{\bf Exercice 11B (Application)} \\

On considère une urne contenant 4 boules numéro 1, 4 boules numéro 2, 4 boules numéro 3 et 4 boules numéro 4 (L'urne contient donc 16 boules au total). 
\begin{enumerate}
\item Avant de débuter l'exercice, comptons le nombre de possibilités. On tire trois boules dans l'ordre et avec remise. L'ensemble des résultats de cette expérience (i.e. $\Omega$) est une $3$-liste de l'ensemble$\entier{1,4}$. Donc 
$$
card(\Omega) = 16^3 
$$ 
\begin{enumerate}
\item On note $A$ l'évènement obtenir 3 numéros 4. On compte le nombre d'éléments de $A$. On note $F$ l'ensemble des numéros 4 ($card(F) = 4$). L'ensemble $A$ est donc une 3-liste de $F$. On a ainsi :
\begin{center}
\fbox{$
P(A) = \dfrac{card(A)}{\card(\Omega)} = \dfrac{4^3}{16^3} = \dfrac{1}{4^3} = \dfrac{1}{64}
$}
\end{center}
\item On note $B$ l'évènement "obtenir 3 fois le même numéro". Il sera plus facile ici de dénombrer les évènements (pour $k \in \entier{1,4}$) :
\begin{center}
$B_k$ : "obtenir 3 fois le numéro k" 
\end{center}

Pour tout $k \in \entier{1,4}$, on a alors (même raisonnement que pour la question $1$) $card(B_k) = 4^3$ et $p(B_k) = \dfrac{1}{64}$. On sait également que $B = \ds \bigcup_{k=1}^{4} B_k$ et que les évènements $B_k$ sont incompatibles deux à deux. Donc 
\begin{center}
\fbox{$P(B) = P\left( \ds \bigcup_{k=1}^{4} B_k \right) = \ds \sum_{k=1}^{4} P(B_k) = 4 \times \dfrac{1}{64} = \dfrac{1}{16}$}
\end{center}
\item On note $C$ l'évènement "aucune des numéros sorti n'est un $3$". On note $G$ l'ensemble des numéros qui ne sont pas des $3$ ($card(G) = 12$). L'ensemble $C$ est donc une 3-liste de $G$ et donc
\begin{center}
\fbox{$P(C) = \dfrac{card(C)}{card(\Omega)} = \dfrac{12^3}{16^3} = \dfrac{3^3}{4^3} = \dfrac{27}{64}$ }
\end{center}
L'évènement que l'on voulait calculer est $\overline{C}$ : "Au moins un des numéro tiré est un $3$. 
\begin{center}
\fbox{$P(\overline{C}) = 1 - P(C) = \dfrac{37}{64}$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\item De la même façons, comptons le nombre de possibilités. On tire trois boules dans l'ordre et sans remise. L'ensemble des résultats de cette expérience (i.e. $\Omega$) est un $3$-Arrangement de l'ensemble $\entier{1,4}$. Donc 
$$
card(\Omega) = 16\times 15 \times 14 
$$ 
\begin{enumerate}
\item On note $A$ l'évènement obtenir 3 numéros 4. On compte le nombre d'éléments de $A$. On note $F$ l'ensemble des numéros 4 ($card(F) = 4$). L'ensemble $A$ est donc un 3-Arrangement de $F$. On a ainsi :
\begin{center}
\fbox{$
P(A) = \dfrac{card(A)}{\card(\Omega)} = \dfrac{4\times 3\times 2}{16 \times 15 \times 14} = \dfrac{1}{2 \times 5 \times 14} = \dfrac{1}{140}
$}
\end{center}
\item On note $B$ l'évènement "obtenir 3 fois le même numéro". Il sera plus facile ici de dénombrer les évènements (pour $k \in \entier{1,4}$) :
\begin{center}
$B_k$ : "obtenir 3 fois le numéro k" 
\end{center}

Pour tout $k \in \entier{1,4}$, on a alors (même raisonnement que pour la question $(a)$) $card(B_k) = 4 \times 3 \times 2$ et $p(B_k) = \dfrac{1}{140}$. On sait également que $B = \ds \bigcup_{k=1}^{4} B_k$ et que les évènements $B_k$ sont incompatibles deux à deux. Donc 
\begin{center}
\fbox{$P(B) = P\left( \ds \bigcup_{k=1}^{4} B_k \right) = \ds \sum_{k=1}^{4} P(B_k) = 4 \times \dfrac{1}{140} = \dfrac{1}{35}$}
\end{center}
\item On note $C$ l'évènement "aucune des numéros sorti n'est un $4$". On note $G$ l'ensemble des numéros qui ne sont pas des $4$ ($card(G) = 12$). L'ensemble $C$ est donc une 3-Arrangement de $G$ et donc
\begin{center}
\fbox{$P(C) = \dfrac{card(C)}{card(\Omega)} = \dfrac{12\times 11 \times 10}{16 \times 15 \times 14} = \dfrac{11}{2 \times 1 \times 14} = \dfrac{11}{28}$ }
\end{center}
L'évènement que l'on voulait calculer est $\overline{C}$ : "Au moins un des numéro tiré est un $4$. 
\begin{center}
\fbox{$P(\overline{C}) = 1 - P(C) = \dfrac{17}{28}$. }
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 12 - Déterminer la loi d'une variable aléatoire discrète finie.}

{\bf Exercice 12A (cours)} \\
On considère une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs 0,1,2 ou 3. On donne 
$$ P(X = 0) = \dfrac{1}{6} \quad \text{et} \quad P(X = 1) =\dfrac{1}{2} .$$
\begin{enumerate}
\item Comme les événements $(X = 2)$ et $(X = 3)$ sont équiprobables, On a  $P(X = 2) = P(X = 3)$. De plus, comme $(X=i)_{i \in \{0,3 \}}$ est un système complet d'évènements alors 
\begin{align*}
& P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1 \\
\Longleftrightarrow \quad & \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} + 2P(X= 2) = 1 \\
\Longleftrightarrow \quad  & 2 P(X=2) = 1 - \dfrac{4}{6} \\
\Longleftrightarrow \quad & 2 P(X=2) = \dfrac{1}{3}  \\
\Longleftrightarrow \quad  &  \boxed{P(X=2) = P(X=3) = \dfrac{1}{6} }
\end{align*}
\item La loi de $X$, c'est tout simplement les probabilités calculées à la question $1$. On peut le récapituler dans un tableau :
\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{10pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
$P(X = k)$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On utilise la formule pour calculer l'espérance :
\begin{align*}
E(X) & = \sum_{k=0}^3 k P(X = k) \\
     & = 0 \times P(X =0) + 1 \times P(X= 1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) \\
     & = 0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} \\
     & \boxed{= 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}}
\end{align*}
Pour déterminer la variance, on commence par calculer :
\begin{align*}
E(X^2)& = \sum_{k=0}^3 k^2 P(X = k) \\
     & = 0^2 \times P(X =0) + 1^2 \times P(X= 1) + 2^2 \times P(X=2) + 3^2 \times P(X=3) \\
     & = 0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{6} + \dfrac{9}{6} \\
     & \boxed{= \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}}
\end{align*}
On n'oublie pas de donner la variance à l'aide de la formule de Koënig-Huygens :
\begin{center}
\fbox{$V(X)  = E(X^2) - (E(X))^2 = \dfrac{8}{3} - \dfrac{16}{9} = \dfrac{8}{9}$}
\end{center}
\end{enumerate} 

{\bf Exercice 12B (Application)} \\
On tire successivement 2 dés à 6 faces. On note $X$ la valeur absolue de la différence des deux numéros obtenus.
\begin{enumerate}
\item L'écart maximum sera obtenue en tirant obtenant $6$ sur un dé et $1$ sur l'autre. L'écart minimum est $0$ si l'on tire deux fois le même nombre. Ainsi, 
\begin{center}
\fbox{$
X(\Omega) = \entier{0,5}
$ }
\end{center}
On note pour $k \in \entier{1,6}$, l'évènement $A_k$ : "Obtenir le \no $k$ au premier tirage" et $B_k$ : "Obtenir le \no $k$ au second tirage". Les évènements $A_k$, $B_j$ sont indépendants pour tout $(j,k) \in \entier{1,6}^2$. 
\begin{align*}
P(X = 5) & = P\left( (A_6 \cap B_1) \cup (A_1 \cap B_6) \right) \\
& = P(A_6 \cap B_1) + P(A_1 \cap B_6) \\
& = P(A_6) P(B_1) + P(A_1) P(B_6) \\
& = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}  \\
& \boxed{= \dfrac{1}{18} }
\end{align*}

On peut également résoudre ce problème à l'aide du dénombrement. $\Omega$ est l'ensemble des 2-liste de l'ensemble $E = \entier{1,6}$. Ainsi, $card(\Omega) = 6 \times 6 = 36$. Or
$$
(X=4) = \{ (1,5) ; (2,6) ; (6,2) ; (5,1) \} 
$$
Ainsi $card(X=4) = 4$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
P(X = 4) = \dfrac{card(X=4)}{card(\Omega)} = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}
$}
\end{center}
De la même façon,
$$
(X=3) = \{ (1,4) ; (2,5) ; (3,6) ; (6,3) ; (5,2) ; (4,1) \} 
$$
Ainsi $card(X=3) = 6$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
P(X = 3) = \dfrac{card(X=3)}{card(\Omega)} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}
$}
\end{center},
$$
(X=2) = \{(1,3) ; (2,4) ; (3,5) ; (4,6) ; (6,4) ; (5,3) ; (4,2) ;(3,1) \} 
$$
Ainsi $card(X=2) = 8$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
P(X = 2) = \dfrac{card(X=2)}{card(\Omega)} = \dfrac{8}{36} = \dfrac{2}{9}
$}
\end{center}
De même,
$$
(X=1) = \{(1,2) ; (2,3) ; (3,4) ; (4,5) ; (5,6) ;(6,5); (5,4) ; (4,3) ; (3,2) ;(2,1) \} 
$$
Ainsi $card(X=1) = 10$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
P(X = 1) = \dfrac{card(X=1)}{card(\Omega)} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}
$}
\end{center}
et
$$
(X=0) = \{(1,1) ; (2,2) ; (3,3) ; (4,4) ; (5,5) ; (6,6)  \} 
$$
Ainsi $card(X=0) = 6$ et donc 
\begin{center}
\fbox{$
P(X = 0) = \dfrac{card(X=0)}{card(\Omega)} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}
$}
\end{center}
En conclusion (on vérifie que la somme fait bien $1$), 
\begin{center}
\setlength{\tabcolsep}{10pt}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$k$  & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
$P(X = k)$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{18}$ & $\dfrac{2}{9}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{9}$ & $\dfrac{1}{18}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On calcule alors l'espérance de la variable aléatoire $X$, 
\begin{align*}
E(X) & = 0 + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4) + 5 \times P(X=5) \\
     & = 0 + \dfrac{5}{18} + \dfrac{4}{9} + \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{9} +\dfrac{5}{18} \\
     & = \dfrac{5}{18} + \dfrac{8}{18} + \dfrac{9}{18} + \dfrac{8}{18} + \dfrac{5}{18} \\
     & \boxed{= \dfrac{35}{18}}
\end{align*}

Afin de calculer la variance, on calcule $E(X^2)$ avec le théorème de transfert
\begin{align*}
E(X^2) & = 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) + 3^2 \times P(X=3) + 4^2 \times P(X=4) + 5^2 \times P(X = 5) \\
     & = \dfrac{5}{18} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{9}{6} + \dfrac{16}{9} + \dfrac{25}{18} \\
     & = \dfrac{5}{18} + \dfrac{16}{18} + \dfrac{27}{18} + \dfrac{32}{18} + \dfrac{25}{18} \\
     & \boxed{= \dfrac{105}{18} = \dfrac{35}{6}}
\end{align*}

La variance est alors donnée par la formule de K\oe{}nig-Huygens :
\begin{align*}
V(X) & = E(X^2) - E(X)^2 \\
     & = \dfrac{35}{6} - \left( \dfrac{35}{18} \right)^2 \\
     & = \dfrac{1890 - 841}{324} \\
     & \boxed{= \dfrac{1049}{324}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 13 - Reconnaitre une loi uniforme, de Bernoulli, Binomiale.}

{\bf Exercice 13A (cours)} \\
On tire successivement et avec remise 6 cartes d'un paquet de 32 cartes. Dans les cas suivants, déterminer en le justifiant la loi de $X$, son espérance et sa variance. 
\begin{enumerate}
\item On note $X$ le nombre de valets obtenus. On peut obtenir entre $0$ et $n$ valets donc $X(\Omega) = \entier{0,n}$. On compte le nombre de succès d'une répétition d'épreuves de Bernoulli (Obtenir un valet) ayant pour probabilité de succès $\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}$. Donc $X$ suit une loi binomiale de paramètre $6$ et $\dfrac{1}{8}$. 
\begin{center}
\fbox{$
X \loi{B} (6,1/8)
$ et $E(X) = \dfrac{3}{4}$, $V(X) = 6 \times \dfrac{1}{8} \times \dfrac{7}{8} = \dfrac{21}{32}$}
\end{center}
\item On note $X$ la variable aléatoire valant 1 si l'on a que des figures (rois, dames et valets) et 0 sinon. On a $X(\Omega) = \{0,1\}$ donc $X$ suit une loi de Bernoulli. On calcule $P(X= 1) = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}$. Ainsi
\begin{center}
\fbox{$
X \loi{B} \left( \dfrac{3}{8} \right)
$ et $E(X) = \dfrac{3}{8}$, $V(X) = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{64}$}
\end{center}
\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirage. $X(\Omega) = \{6\}$ donc $X$ est une loi certaine. Ainsi
\begin{center}
 \fbox{$ E(X) = 6 $ et $V(X) = 0$.}
 \end{center} 
\item On note $X$ la variable aléatoire valant $1$ si un coeur tombe, $2$ si un carreau tombe, $3$ si un trèfle tombe et $4$ si un pique tombe. On a $X(\Omega) = \entier{1,4}$. La probabilité est la même pour les évènements $P(X=1) = \dfrac{1}{4}$, $P(X=2) = \dfrac{1}{4}$, $P(X=3) = \dfrac{1}{4}$ et $P(X=4) = \dfrac{1}{4}$. Il s'agit donc d'une loi uniforme :
\begin{center}
\fbox{$
X \loi{U} \left( 1,4 \right)
$ et $E(X) = \dfrac{5}{2}$, $V(X) = \dfrac{16-1}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}$}
\end{center} 
\end{enumerate}

{\bf Exercice 13B (Application)} \\
Une grenouille se déplace sur un axe gradué. Elle commence sur la case 0. Elle peut 
\begin{itemize}
\item Se déplacer de $+2$ cases avec probabilité $1/2$.
\item Rester sur la même case avec probabilité $1/6$.
\item Reculer d'une case (faire -1).  
\end{itemize}
On suppose que les sauts sont indépendants les uns des autres. 
\begin{enumerate}
\item La grenouille ne peut qu'avancer de deux cases, rester au même endroit ou reculer d'une case. Ces 3 évènements forment un système complet d'évènements et si l'on note $x$ la probabilité que la grnouille recule d'une case, on obtient l'équation
$$
x + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = 1 \Longleftrightarrow \boxed{x = \dfrac{1}{3} }
$$
\item Dans cette question, on observe $n$ sauts de la grenouille et on note $X_n$ le nombre de fois ou la grenouille a sauté de deux cases en avant. On a tout d'abord $X_n (\Omega) = \entier{0,n}$. On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli (probabilité de succès 1/2) de manière identique et indépendante. Ainsi $X_n$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $\dfrac{1}{2}$
\begin{center}
\fbox{$X_n \loi{B}(n,1/2)$.}
\end{center}
On a alors 
\begin{center}
\fbox{$E(X_n) = \dfrac{n}{2}$ et $V(X_n) = \dfrac{n}{4}$}
\end{center}
\item On note $Y_n$ le nombre de fois ou la grenouille est resté sur la même case. On a tout d'abord $Y_n (\Omega) = \entier{0,n}$. On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli (probabilité de succès 1/6) de manière identique et indépendante. Ainsi $Y_n$ suit une loi binomiale de paramètre $n$ et $\dfrac{1}{6}$
\begin{center}
\fbox{$Y_n \loi{B}(n,1/6)$.}
\end{center}
On a alors 
\begin{center}
\fbox{$E(Y_n) = \dfrac{n}{6}$ et $V(Y_n) = \dfrac{5n}{36}$}
\end{center}
\item On note $Z_n$ la variable aléatoire égale à la position où est arrivée la grenouille. 
On a $Z_n = 2 X_n + 0 \times Y_n - (n - X_n - Y_n)$ donc 
\begin{center}
\fbox{$Z_n = 3X_n + Y_n - n$.}
\end{center}
On peut alors calculer 
\begin{align*}
E(Z_n) & = E(3X_n + Y_n - n) \\
       & = E(3X_n) + E(Y_n) - n \\
       & = 3E(X_n) + E(Y_n) - n \\
       & = \dfrac{3n}{2} + \dfrac{n}{6} - n \\
       & \boxed{= \dfrac{2n}{3}}
\end{align*}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 14 - Résoudre un système linéaire.}

{\bf Exercice 14A (cours)} \\
Résoudre  les systèmes suivants 
\begin{enumerate}
\item On résout le système 
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&4y& 1\\
x&+&3y&3
\end{array}\right. & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r @{\qquad}r}
2x&+&4y& 1 & \\
&& 2y&5 & 2L_2 - L_1 \to L_2
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r @{\qquad}r}
&& 2x& 1 - 10 & \\
&& y&\dfrac{5}{2} & 
\end{array}\right.
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{Le système a une unique solution : $\mathcal{S} = \left\{ \left( -\dfrac{9}{2}, \dfrac{5}{2} \right) \right\}$.}
\end{center}

\item On résout le système 
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&y& 0\\
6x&+&3y& 0
\end{array}\right. & \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r @{\qquad}r}
2x&+&3y& 0 & \\
&& 0&0 & 3L_1 - L_2 \to L_2
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrr @{\quad =\quad} r @{\qquad}r}
&& x& - \dfrac{3}{2}y & \\
&& 0& 0 & 
\end{array}\right.
\end{align*}
\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est : $\mathcal{S} = \left\{ \left( -\dfrac{3}{2}y, y \right), \; y \in \R \right\}$.}
\end{center}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 14B (Application)} \\
Résoudre les systèmes suivants :
\begin{enumerate}
\item On résout le système :
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&y&-&2z& 1\\
2x&+&3y&-&z& 2\\
2x&-&y&+&2z& 0
\end{array}\right. & \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
2x&+&y&-&2z & 1\\
&&2y&+&z & 1 & L_2 - L_1 \to L_2\\
& -&2y&+&4z & -1  & L_3 - L_1 \to L_3
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
2x&+&y&-&2z & 1\\
& &2y&+&z & 1  & \\
&&&&5z & 0 & L_2 + L_3 \to  L_3 
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
&&&&2x & 1 - \dfrac{1}{2}\\
&&&&2y & 1  &  \\
&&&&z & 0 & 
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
&&&&x & \dfrac{1}{4}\\
&&&&y & \dfrac{1}{2}  &  \\
&&&&z & 0 & 
\end{array}\right.
\end{align*}

\begin{center}
\fbox{Le système admet donc une unique solution : $\mathcal{S} = \left\{ \left( \dfrac{1}{4} , \dfrac{1}{2} , 0 \right) \right\}$.}
\end{center}

\item On résout le système :
\begin{align*}
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r}
2x&+&3y&-&2z& 0 \\
x&+&2y&-&3z& 0 \\
3x&+&4y&-&z& 0
\end{array}\right. & \Longleftrightarrow 
\left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
2x&+&3y&-&2z & 0\\
&&y&-&4z & 0 & 2L_2 - L_1 \to L_2\\
&-&y&+&4z & 0  & 2L_3 - 3L_1 \to L_3
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
2x&+&3y&-&2z & 0\\
& &y&-&4z & 0  & \\
&&&&0 & 0 & L_2 + L_3 \to  L_3 
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
&&&&2x &-10z\\
&&&&y & 4z  &  \\
&&&&0 & 0 & 
\end{array}\right. \\
& \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{rrrrr @{\quad =\quad} r @{\qquad} r}
&&&&x & - 5z \\
&&&&y &  4 z  &  
\end{array}\right.
\end{align*}

\begin{center}
\fbox{L'ensemble des solutions est alors $\mathcal{S} = \left\{ \begin{pmatrix}
- 5z \\
4z \\
z 
\end{pmatrix}, z \in \R \right\}$}
\end{center}

\end{enumerate}

\section*{Exercice 15 - Inverser une matrice.}

{\bf Exercice 15A (cours)} \\
\begin{enumerate}
\item On utilise la méthode du pivot de Gauss
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
 \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
1 & -1 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} & \\
& &  \\
\begin{pmatrix}
2 & 3 \\
0 & 5 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1 & -2
\end{pmatrix} & \begin{array}{c}
\\
L_1 - 2L_2 \to L_2 
\end{array} 
\end{array}
\end{align*}
La matrice $A$ est inversible car les pivots sont non nuls. 
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
10 & 0 \\
0 & 3 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
2 & 6 \\
1 & -2
\end{pmatrix} & \begin{array}{c}
5L_1 - 3L_2 \to L_1  \\
.
\end{array} \\
& &  \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 
\end{pmatrix} & \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & -2
\end{pmatrix} & \begin{array}{c}
(1/10) L_1  \to L_1  \\
(1/5) L_2  \to L_2
\end{array} \\
\end{array}
\end{align*} 
On obtient alors \begin{center}
\fbox{$A^{-1} = \dfrac{1}{5} \begin{pmatrix}
1 & 3 \\
1 & -2
\end{pmatrix}$.}
\end{center}
\item  On applique le pivot de Gauss :
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 1\\
2 & 1 & 1\\
10 & -7 & 2
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 1\\
0 & 4 & 1\\
0 & -4 & -1
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
-5 & 0 & 2
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
2L_2 - L_1 \to L_2 \\
2L_3 - 5L_1 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 1\\
0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
-6 & 2 & 2
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
\blank \\
L_3 + L_2 \to L_3
\end{array}
\end{array}
\end{align*}
La méthode de Gauss a fait apparaitre 3 pivot dont un est nul. \begin{center}
\fbox{La matrice $B$ n'est pas inversible. }
\end{center}
\end{enumerate}

{\bf Exercice 15B (Application)} \\
\begin{enumerate}
\item   On applique le pivot de Gauss :
\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 1\\
2 & 1 & 1\\
10 & -7 & 2
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 1\\
0 & 4 & 1\\
0 & -4 & -1
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
-5 & 0 & 2
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
2L_2 - L_1 \to L_2 \\
2L_3 - 5L_1 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
4 & -2 & 1\\
0 & 4 & 1\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
-6 & 2 & 2
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
\blank \\
L_3 + L_2 \to L_3
\end{array}
\end{array}
\end{align*}
La méthode de Gauss a fait apparaitre 3 pivot dont un est nul. \begin{center}
\fbox{La matrice $B$ n'est pas inversible. }
\end{center}
\item  On calcule l'inverse de la matrice $C=\left(\begin{array}{ccc}
2 & -3 & 2 \\
1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right)$ à l'aide du pivot de Gauss :

\begin{align*}
\begin{array}{c|cr}
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 2 \\
1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank
\end{array} \\
& & \\
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 2\\
0 & 7 & -4\\
0 & 1 & 0 
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
2L_2 - L_1 \to L_2\\
2L_3 - L_1 \to L_3
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
2 & -3 & 2 \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 7 & -4
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
-1 & 2 & 0
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\blank \\
L_2 \leftrightarrow L_3 \\
\blank
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 2\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -4
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 6 \\
-1 & 0 & 2 \\
6 & 2 & -14
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
L_1 + 3L_2 \to L_1\\
\blank \\
L_3 - 7L_2 \to L_2 
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
4 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & -4
\end{pmatrix} & \begin{pmatrix}
2 & 2 & -2 \\
-1 & 0 & 2 \\
6 & 2 & -14
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
L_3 + 2L_1 \to L_1\\
\blank \\
\blank
\end{array} \\
 & & \\
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} & \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
-2 & 0 & 4 \\
-3 & -1 & 7
\end{pmatrix} & \begin{array}{r}
\frac{1}{2}L_1 \to L_1\\
\blank \\
\frac{1}{-4}L_3 \to L_3 
\end{array}
\end{array}
\end{align*}

Les pivots étant tous non nuls, \begin{center}
\fbox{la matrice $C$ est inversible et $C^{-1}  = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
-2 & 0 & 4 \\
-3 & -1 & 7
\end{pmatrix}$.}
\end{center}
\end{enumerate}




\section*{Exercice 16 -  Montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle.}

\end{document}